Question

已知函数f（x）=3x²+bx+1是偶函数，g（x）=5x+c是奇函数，数列{a_n}满足a_n＞0
且a₁=1，f（a_n+a_n+1）-g（a_n+1a_n+a_n²）=1．求{a_n}的通项公式．

Answer

由f（x）=3x2+bx+1是偶函数，知f（x）=3x2+1．由g（x）=5x+c是奇函数，知g（x）=5x．所以f（an+an+1）-g（an+1an+an3）=3（an+an+1）3+1-5（an+1an+an2）=1．由此入手能求出{an}的通项公式．
【解析】
∵f（x）=3x2+bx+1是偶函数，
∴f（-x）=f（x）
即3（-x）2+b（-x）+1=3x2+bx+1，b=0．
∴f（x）=3x2+1．（2分）
∵g（x）=5x+c是奇函数，
∴g（-x）=-g（x），
即5（-x）+c=-（5x+c），c=0．
∴g（x）=5x．（4分）
f（an+an+1）-g（an+1an+an3）=3（an+an+1）3+1-5（an+1an+an2）=1．
∴3an+12+anan+1-2an2=0．∴（3an+1-2an）（an+1+an）=0．∴．（10分）
∴{an}是以1为首项，为公比的等比数列．（12分）
{an}的通项公式为an=．（13分）