Question

已知等比数列{a_n}中，a₁+a₃=10，前4项和为40．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若等差数列{b_n}的各项为正，其前n项和为T_n，且T₃=15，又a₁+b₁，a₂+b₂，a₃+b₃成等比数列，求T_n．

Answer

（1）首先根据等比数列的公式及其和公式可得，即可求出，进而可以求出数列{an}的通项公式为an=3n-1
（2）首先设等差数列{bn}的公差为d，则T3=b1+b2+b3=3b2=15，可求出b2=5，再由已知知a1+b1，a2+b2，a3+b3成等比数列，即（a2+b2）2=（a1+b1）（a3+b3），即可得出d=-10或d=2，经判断舍去d=-10，进而得出Tn=n2+2n
【解析】
（1）设等比数列{an}的公比为q，则
∴
∴an=a1qn-1=3n-1．
∴等比数列{an}的通项公式为an=3n-1．
（2）设等差数列{bn}的公差为d，则T3=b1+b2+b3=3b2=15，
∴b2=5．
又∵a1+b1，a2+b2，a3+b3成等比数列，
∴（a2+b2）2=（a1+b1）（a3+b3），
即（3+5）2=（1+b1）（9+b3），
64=（6-d）（14+d）．
∴d=-10或d=2．
∴（舍去）或
∴．