Question

如图，画一个边长为a（a＞0）的正方形，再将这个正方形各边的中点相连得到第2个正方形，依此类推，记第1个正方形的边长为a₁，第2个正方形的边长为a₂，…，第n个正方形的边长为a_n．
（1）试归纳出或求出a_n的表达式；
（2）记第1个正方形的面积为S₁，第2个正方形的面积为S₂，…，第n个正方形的面积为S_n，求S₁+S₂+S₃+…+S_n．

Answer

（1）根据图形得到：当第n个正方形的对角线长为时第n+1个正方形的边长为an+1=，得到数列{an}是等比数列，根据等比数列的通项公式得到an的通项即可；
（2）根据正方形的面积等于边长的平方可得sn=an2，代入求出sn的通项公式，然后根据等比数列的前n项和的公式得到S1+S2+S3+…+sn的和即可．
【解析】
（1）∵第n个正方形的对角线长为，
∴第n+1个正方形的边长．
∴，即数列{an}是首项为a1=a，公比为的等比数列．
∴an=（）n-1a．

（2）∵an=（）n-1a，
∴．
∴数列{Sn}是首项为S1=a2，公比为的等比数列．
∴S1+S2+S3+…+sn=
=2a2（）．