Question

已知直线l₁：x+a（a+1）y+1=0和直线l₂：bx+y+1=0垂直，且直线l₂分别与x轴、y轴交于点A、B；O为原点，若△AOB的面积存在最小值，则实数b的取值范围是     ．

Answer

利用两直线垂直的条件得出字母a，b的关系式是解决本题的关键．将△AOB的面积表示为字母的函数关系，发现面积何时取到最小值进行求解实数b的取值范围．
【解析】
由两直线垂直，得出b=-a（a+1）=-a2-a，
l2分别与x轴、y轴交于点A（-，0）（b≠0）、B（0，-1）．
故△AOB的面积为，
若△AOB的面积存在最小值，也就是|b|=|a2+a|存在最大值，
因此b∈（-∞，0）∪（0，+∞）．
故答案为：（-∞，0）∪（0，+∞）．