Question

如图，在平面直角坐标系xoy中，设三角形ABC的顶点分别为A（0，a），B（b，0），C（c，0），点P（0，p）在线段AO上的一点（异于端点），这里a，b，c，p均为非零实数，设直线BP，CP分别与边AC，AB交于点E，F．
（1）若BE⊥AC，求证CF⊥AB；
（2）若O、E分别是BC、AC的中点，求证F也是AB的中点．

Answer

（1）根据B和P的坐标求出直线BP的斜率，同理根据A和C的坐标求出直线AC的斜率，因为两直线垂直得到斜率乘积为-1，令两斜率相乘等于-1得到一个关系式pa=-bc；然后根据P和C的坐标求出直线PC 的斜率，根据A和B的坐标求出直线AB的斜率，把两斜率相乘后，把求得的关系式代入即可得到乘积为-1，得到CF垂直于AB，得证；
（2）由O是BC的中点且PO垂直于BC，得到直线PO为线段BC的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可知：|PB|=|PC|，且|AB|=|AC|，根据等边对等角得到角PBC等于角PCB，且角ABC等于角ACB，两等式相减得到角ABP等于角ACF，又根据对顶角相等得到三角形PFB与三角形PEC全等，得到|FB|等于|EC|，所以得到|FB|等于|AB|的一半，得证．
证明：（1）根据点B（b，0）和点P的坐标（0，p）写出直线BP的斜率为-，
由点A（0，a）和C（c，0）写出直线AC的斜率为-，
因为BE⊥AC，所以（-）（-）=-1，即pa=-bc；
而由C（c，0）和P（0，p）斜率为-，由A（0，a）和B（b，0）斜率为-，
则斜率之积为（-）（-）===-1，所以CF⊥AB；
（2）因为O为线段BC的中点，且PO⊥BC，所以OP为线段BC的垂直平分线，
∴|BP|=|CP|，且|AB|=|AC|，
∴∠PBO=∠PCO，且∠ABC=∠ACB，
∴∠ABP=∠ACP，
又∠FPB=∠EPC，
∴△BPF≌△CPE，
∴|BF|=|CE|，
又E是线段AC的中点，所以|CE|=|AC|，
则|BF|=|AB|，所以F为线段AB的中点．