Question

在数列{a_n}中，，n∈N^*．
（1）证明数列{a_n+n}是等比数列；
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n；
（3）求S_n的最小值，指出S_n取最小值时n的值，并说明理由．

Answer

（1）由递推关系拼凑出an+n和an+1+（n+1）之间的关系式找到其比值为常数即可．
（2）由{an+n}是等比数列找到{an}的通项，再用分组求和的方法求出{an}的前n项和Sn；
（3）先找的关系，得到猜想“n∈N*，且n≥4时，2n-1＞（n+1）”，再用数学归纳法证明即可．
（1）证明：，n∈N*
又，
所以数列{an+n}是首项为，且公比为2的等比数列
（2）【解析】

由（1）可知an+n=×2n-1=2n-2
于是数列{an}的通项公式为an=2n-2-n
所以数列{an}的前n项和=
（3）对任意的n∈N*，Sn+1-Sn==2n-1-（n+1）
n=1时，2n-1-（n+1）=-1＜0  所以S2＜S1    
n=2时，2n-1-（n+1）=-1＜0    所以S3＜S2
n=3时，2n-1-（n+1）=0        所以S4=S3
n=4时，2n-1-（n+1）=3＞0      所以S5＞S4
猜想“n∈N*，且n≥4时，2n-1＞（n+1）”
下面用数学归纳法证明：
①当n=4时，已证
②假设当n=k（k≥4）时，命题成立，即2k-1＞（k+1）
那么当n=k+1时，2k=2×2k-1＞2（k+1）=（k+2）+k＞k+2=（k+1）+1
这就是说，当n=k+1时，命题也成立
根据①和②，可知当n∈N*且n≥4时，不等式2n-1＞（n+1）都成立
综上S1＞S2＞S3=S4＜S5＜S6＜＜Sn＜Sn+1＜
所以当n=3，n=4时，Sn取到最小值：