Question

已知椭圆w的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为4，离心率为，△ABC的顶点A，B在椭圆w上，C在直线l：y=x+2上，且AB∥l．
（1）求椭圆w的方程；
（2）当AB边通过坐标原点O时，求AB的长及△ABC的面积；
（3）当∠ABC=90°，且斜边AC的长最大时，求AB所在直线的方程．

Answer

（Ⅰ）先设出椭圆方程，根据题意可得a，根据离心率可得c，进而求得b，椭圆方程可得．
（Ⅱ）根据AB∥l，且AB边通过点（0，0）进而可设AB所在直线的方程为y=x．设A，B两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）．直线方程和椭圆方程联立求得x，进而求得|AB|，根据AB边上的高h等于原点到直线l的距离．求得三角形ABC的高，进而根据三角形面积公式可得答案．
（Ⅲ）设AB所在直线的方程为y=x+m，直线和椭圆方程联立消去y，根据判别式大于0求得m的范围，设A，B两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），进而根据韦达定理求得|AB|的表达式，根据BC的长等于点（0，m）到直线l的距离求得|BC|的表达式，最后根据勾股定理求得|AC|2的表达式，进而确定AC最大时m的值，直线方程可得．
【解析】
（Ⅰ）设椭圆方程为，依题意可知a=2，=，∴b==
∴椭圆w的方程为x2+3y2=4．
（Ⅱ）因为AB∥l，且AB边通过点（0，0），所以AB所在直线的方程为y=x．
设A，B两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）．
由得x=±1．
所以．
又因为AB边上的高h等于原点到直线l的距离．
所以，．
（Ⅲ）设AB所在直线的方程为y=x+m，
由得4x2+6mx+3m2-4=0．
因为A，B在椭圆上，
所以△=-12m2+64＞0．
设A，B两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），
则，，
所以．
又因为BC的长等于点（0，m）到直线l的距离，即．
所以|AC|2=|AB|2+|BC|2=-m2-2m+10=-（m+1）2+11．
所以当m=-1时，AC边最长，（这时△=-12+64＞0）
此时AB所在直线的方程为y=x-1．