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如图,在边长为2的正方形ABCD中,点E是AB的中点,点F是BC的中点,将△AE...

如图,在边长为2的正方形ABCD中,点E是AB的中点,点F是BC的中点,将△AED,△CDF分别沿DE,DF折起,使A,C两点重合于A′.
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(1)求证:A′D⊥EF;
(2)求二面角A′-EF-D的正切值.
(1)欲证A′D⊥EF,先证A′D⊥面A′EF,根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证A′D与面A′EF内两相交直线垂直,而A′D⊥A′E,A′D⊥A′F,满足定理条件; (2)取EF的中点G,连A′G,DG,根据二面角平面角的定义可知∠A′GD为二面角A′-EF-D的平面角,在Rt△A′GD中求出此角的正切值即可. 【解析】 (1)证明:∵AD⊥AE,DC⊥CF ∴A′D⊥A′E,A′D⊥A′F∴A′D⊥面A′EF,而EF⊂面A′EF ∴A′D⊥EF (2)【解析】 取EF的中点G,连A′G,DG,如图 ∵AE=CF, ∴A′E=A′F, ∴GA′⊥EF又由(1)知A′D⊥EF, ∴EF⊥面A′GD,EF⊥GD ∴∠A′GD为二面角A′-EF-D的平面角 在△A′EF中,A′E=A′F=1, ∴∠EA′F=90°, ∴又A′D=AD=2在Rt△A′GD中, 即二面角A′-EF-D的正切值为.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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