Question

已知二次函数f（x）的二次项系数a，且不等式f（x）＞-x的解集为（1，2），若f（x）的最大值为正数，则a的取值范围是   

Answer

不等式f（x）＞-x的解集为（1，2），得方程f（x）=-x两个根是1，2．由此可得出二次函数f（x）中的系数间的关系，
又f（x）的最大值为正数，得二次项系数a＜0且可以得到关于a的不等关系．
【解析】
设f（x）=ax2+bx+c，（a＜0），由题意得方程f（x）=-x两个根是1，2，
即ax2+（b+1）x+c=0两个根是1，2．
∴
∴b=-3a-1，c=2a
又f（x）的最大值为正数，即
消去b，c得到关于a不等式，解得a的取值范围是
故填：．