Question

（Ⅰ）已知奇函数f（x）（x∈R），当x＞0时，f（x）=x（5-x）+1，求f（x）在R上的表达式．
（Ⅱ）设定义在[-2，2]上的偶函数f（x）在区间[0，2]上单调递减，若f（1-m）＜f（m），求实数m的取值范围．

Answer

（1）先根据奇函数在0处有定义则f（0）=0，又假设x＜0则-x＞0满足题目中给的条件可得f（-x）的关系式，再由奇函数定义得到x＜0时函数f（x）的解析式，最终得到答案．
（2）根据偶函数在对称区间上的单调性可得f（|1-m|）＜f（|m|），再由在区间[0，2]上单调递减可得关系式进而解题．
【解析】
因为f（x）是R上的奇函数，所以f（0）=0．
当x＜0时，-x＞0，故有f（-x）=-x[5-（-x）]+1=-x（5+x）+1．
所以f（x）=-f（-x）=x（5+x）-1．
所以
（2）因为f（x）是偶函数，所以f（x）=f（|x|），
所以不等式f（1-m）＜f（m）⇔f（|1-m|）＜f（|m|）．
又f（x）在区间[0，2]上单调递减，
所以解得．