Question

已知函数f（x）=log₂（x+1），当点（x，y）是y=f（x）的图象上的点时，点是y=g（x）的图象上的点．
（I）写出y=g（x）的表达式；
（II）当g（x）-f（x）≥0时，求x的取值范围；
（Ⅲ）当x在（Ⅱ）所给范围取值时，求g（x）-f（x）的最大值．

Answer

（I）令，由题设条件知，再由（m，n）是函数y=g（x）的图象上的点，可知．
（II）由题意知．由对数函数的性质可得，解得0≤x≤1．
（Ⅲ）由题疫条件知．由此可知g（x）-f（x）在[0，1]上的最大值为．
【解析】
（I）令，则x=3m，y=2n，由点（x，y）在y=log2（x+1）的图象上可得2n=log2（3m+1），故，
又（m，n）是函数y=g（x）的图象上的点，故．
（II）因为g（x）-f（x）≥0，所以．
由对数函数的性质可得，解得0≤x≤1．
（Ⅲ）因为0≤x≤1，
所以．
当且仅当3x+1=2时，即时等号成立，
故g（x）-f（x）在[0，1]上的最大值为．