Question

已知f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意实数a，b∈R满足：，
考察下列结论：①f（0）=f（1）；②数列{a_n}为等比例数列；③数列{b_n}为等差数列．
其中正确的结论是（ ）
A．①②③
B．①③
C．①②
D．②③

Answer

给a、b赋值，使它们都等于0，再使它们都等于1，得到结论①正确，把第三个条件两边同乘n化为整式形式，用第一个式子逐渐展开，得到等比数列，通过第二步整理，可得第三个结论正确．
【解析】
∵取a=b=0，可得f（0）=0，
取a=b=1，可得f（1）=0，
∴f（0）=f（1），
即①正确，
∵f（ab）=af（b）+bf（a），
∴f（2n）=f（2•2n-1）
=2f（2n-1）+2n-1f（2）
=2f（2n-1）+2n
=…
=n•2n，
∴an=2n，bn=n
∴①②③都正确，
故选A