Question

已知函数f（x）满足f（x+y）=f（x）•f（y），且．
（Ⅰ）当x=n，y=1，n∈N^*时，求f（n）的表达式：
（Ⅱ）设a_n=n•f（n）（n∈N^*），求证：a₁+a₂+…+a_n＜2

Answer

（I）x=n，y=1得：．则由等比数列的定义知，数列{f（n）}是以为首项，为公比的等比数列．（Ⅱ）设Tn=a1+a2+…+an其通项公式是是一个等差数列和等比数列对应项积的形式，则由错位相减法求得前n项和，再用放缩法证明不等式．
【解析】
（I）x=n，y=1得：．
∴数列{f（n）}是以为首项，为公比的等比数列．
．（4分）

（Ⅱ）设Tn=a1+a2++an
∵（n∈N*）．
∴
=
两式相减得：
=．
∴．（10分）