Question

设等比数列{a_n}的前n项和为S_n，等差数列b_n的前n项和为T_n，已知S_n=2ⁿ⁺¹-c+1（其中c为常数），b₁=1，b₂=c．
（1）求常数c的值及数列{a_n}，b_n的通项公式a_n和b_n．
（2）设，设数列d_n的前n项和为D_n，若不等式m≤D_n＜k对于任意的n∈N^*恒成立，求实数m的最大值与整数k的最小值．
（3）试比较与2的大小关系，并给出证明．

Answer

（1）由题设知，Sn-1=2n-c+1，an=Sn-Sn-1=2n（n≥2），所以a1=21=2；另一方面，当n=1时，a1=S1=22-c+1=5-c，所以c=3，
从而bn=2n-1．
（2）由，知Dn=d1+d2+d3+d4+…+dn-1+dn，再用错位相减法求出．然后利用Dn是单调递增的，求实数m的最大值和整数k的最小值．
（3）由bn=2n-1得Tn=n2，，所以由裂项求和法知＜2．
【解析】
（1）由题可得当n≥2时，Sn-1=2n-c+1
从而an=Sn-Sn-1=2n（n≥2），
又由于{an}为等比数列，所以an=2n（n∈N*），
所以a1=21=2；另一方面，当n=1时，a1=S1=22-c+1=5-c
所以c=3，从而bn=2n-1

（2）由（1）得
所以Dn=d1+d2+d3+d4++dn-1+dn①
从而②
①-②得
解得
由于Dn是单调递增的，且，所以D1≤Dn＜3，即
所以实数m的最大值为，整数k的最小值为3．

（3）由bn=2n-1可求得Tn=n2，
当n≥2时，
所以=
所以＜2