Question

已知函数f（x）=sin²x+2sinxcosx+3cos²x
（Ⅰ）求函数f（x）图象的对称中心的坐标；
（Ⅱ）求函数f（x）的最大值，并求函数f（x）取得最大值时x的取值集合；
（Ⅲ）求函数f（x）的增区间

Answer

（Ⅰ）先通过二倍角公式对函数f（x）的解析式进行化简，得f（x）=，根据正弦函数的性质可知函数f（x）的中心坐标．
（Ⅱ）根据正弦函数的性质，当2x+=2kπ+时，函数取最大值，进而可求出函数f（x）的最大值和此时x的集合．
（Ⅲ）根据正弦函数的性质，当时，函数单调增，进而求出函数的增区间．
【解析】
（Ⅰ）
=sin2x+cos2x+2=．
令得，
∴函数f（x）图象对称中心的坐标是，（k∈Z）．
（Ⅱ）当，
即（k∈Z）时，．
∴函数f（x）取得最大值时X的集合是．
（Ⅲ）由，
得，
∴函数f（x）的单调增区间是．