Question

已知直线l：y=kx+1与圆C：（x-2）²+（y-3）²=1相交于A，B两点．
（1）求弦AB的中点M的轨迹方程；
（2）若O为坐标原点，S（k）表示△OAB的面积，，求f（k）的最大值．

Answer

（1）欲求弦AB的中点M的轨迹方程，设点M（x，y），只须求出其坐标x，y的关系式即可，由题意知MN与MC所在直线垂直得到一个关系式，化简即得点M的轨迹方程．
（2）先将y=kx+1代入方程（x-2）2+（y-3）2=1得到一个关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系求出4S△OAB2=|x2-x1|2=（x1+x2）2-4x1•x2，最后结合导数求解函数f（k）的最大值即可．
【解析】
（1）直线l与y轴的交点为N（0，1），圆心C（2，3），设M（x，y），
∵MN与MC所在直线垂直，∴，（x≠0且x≠2），
当x=0时不符合题意，当x=2时，y=3符合题意，
∴AB中点的轨迹方程为：x2+y2-2x-4y+3=0，．（6分）
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），
∵S△OAB=S△ONB-S△ONA，且|ON|=1，∴
将y=kx+1代入方程（x-2）2+（y-3）2=1得（1+k2）x2-4（1+k）x+7=0，
∵，
∴4S△OAB2=|x2-x1|2=（x1+x2）2-4x1•x2=，
∴=，（10分）
∵由，∴，∵△＞0得，
∴时，f（k）的最大值为．（14分）