Question

如图，在Rt△ABC中，已知∠ABC=90°，BC=6，以AB为直径作⊙O，连接OC，过点C作⊙O的切线CD，D为切点，若sin∠OCD=，则直径AB=    ．

Answer

作辅助线，连接OD，则OD⊥CD，根据切线长定理：从圆外一点到圆的两条切线的长相等，那点与圆心的连线平分切线的夹角，可知：CD=BC，∠OCD=∠OCB．故在Rt△OCD中，运用三角函数可将半径OD的值求出，进而可将直径AB求出．
【解析】
连接OD，则OD⊥CD．
∵∠ABC=90°，∴CD、CB为⊙O的两条切线．
∴根据切线长定理得：CD=BC=6．
在Rt△OCD中，sin∠OCD=，
∴tan∠OCD=，OD=tan∠OCD×CD=8．
∴AB=2OD=16．
故答案为16．