已知函数f（x）=-a2x2+ax+lnx（a∈R）．（Ⅰ）我们称使f（x）=...

已知函数f（x）=-a²x²+ax+lnx（a∈R）．
（Ⅰ）我们称使f（x）=0成立的x为函数的零点．证明：当a=1时，函数f（x）只有一个零点；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间（1，+∞）上是减函数，求实数a的取值范围．

（I）欲证明当a=1时，函数f（x）只有一个零点，只须证明f（x）在（0，1）为增函数即可，最后只须证明f′（x）＞0即可；（II）先求出原函数的导数，再根据函数f（x）在（1，+∞）上为单调函数，将原问题转化为f′（x）≤0在（1，+∞）恒成立问题，列出关于a的不等关系解之即得．（Ⅰ）证明：∵f（x）在（0，1）为增函数，在（1，+∞）上为减函数．∴f（x）的最大值为f（1）=0， ∴f（x）在（0，+∞）只有一个零点．（4分）（Ⅱ）【解析】 ∵ ①当a=0时，不成立． ②当a＞0时，f'（x）＜0，得，∴． ③当a＜0时，f'（x）＜0，得，∴ 综上得：（12分）

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考点分析：

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已知函数f（x）=-x³+ax²+b（a、b∈R）．
（1）若a＞0，求函数f（x）的单调区间；
（2）若a=1，函数f（x）的图象能否总在直线y=b的下方？说明理由；
（3）若函数f（x）在[0，2]上是增函数，x=2是方程f（x）=0的一个根，求证：f（1）≤-2．

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已知函数f（x）=|x-a|，g（x）=ax，（a∈R）．
（1）判断函数f（x）的对称性和奇偶性；
（2）当a=2时，求使g²（x）f（x）=4x成立的x的集合；
（3）若a＞0，记F（x）=g（x）-f（x），试问F（x）在（0，∞）是否存在最大值，若存在，求a的取值范围，若不存在，说明理由．

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