Question

已知数列{a_n}的每一项都是非负实数，且对任意m，n∈N^*有a_m+n-a_m-a_n=0或a_m+n-a_m-a_n=1．
又知a₂=0，a₃＞0，a₉₉=33．则a₃=    ，a₁₀=    ．

Answer

本题的题意不是求通项公式，am+n-am-an=0或am+n-am-an=1这类递推式子较少见到，理解不到位很容易出现偏差，本题应当求出a1的值，再利用a3=a1+a2求出a3，对a10的求解需要确定范围，才能进一步求出．
【解析】
（1）由已知：a2=a1+a1=0或a2=a1+a1+1=0，所以2a1=0或2a1=0-1=-1，又因为an≥0，所以a1=0；
所以a3=a1+a2=0或a3=a1+a2+1=1，由已知a3＞0，所以a3=1
（2）由（1）及已知am+n-am-an=0或am+n-am-an=1，a1=a2=0，a3=1可知对任意n∈N*，an∈Z，am+n=am+an或am+n=am+an+1，反复利用上式可得33=a99≥a89+a10≥a79+2a10≥…≥9a10+3a3=9a10+3，所以，同理可得33=a99≤9a10+3a3+11
所以，即有，又因为an∈Z，所以a10=3．