Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，数列{a_n+S_n}是公差为2的等差数列．
（Ⅰ）求a₂，a₃；
（Ⅱ）证明数列{a_n-2}为等比数列；
（Ⅲ）求数列{na_n}的前n项和T_n．

Answer

（Ⅰ）由数列{an+Sn}是公差为2的等差数列，可得an+sn=2n，代入求a2，a3
（Ⅱ）利用递推公式an=代换sn，证明为一非零常数
（Ⅲ）用错位相减求数列的前n项和
（Ⅰ）【解析】
∵数列{an+Sn}是公差为2的等差数列，
∴（an+1+Sn+1）-（an+Sn）=2，即，（3分）
∵a1=1，∴；（5分）
（Ⅱ）证明：由题意，得a1-2=-1，∵，
∴{an-2}是首项为-1，公比为的等比数列；（9分）
（Ⅲ）【解析】
由（Ⅱ）得，∴，（10分）
∴，
∴，
设①
∴，②
由①-②，得，
∴，∴，
∴．（14分）