Question

已知抛物线C：y²=4x，点M（m，0）在x轴的正半轴上，过M的直线l与C相交于A、B两点，O为坐标原点．
（Ⅰ）若m=1，l的斜率为1，求以AB为直径的圆的方程；
（Ⅱ）若存在直线l使得|AM|，|OM|，|MB|成等比数列，求实数m的取值范围．

Answer

（Ⅰ）根据题意可知M的坐标和直线l的方程，把直线方程和抛物线方程联立消去y，设A，B两点坐标AB中点P的坐标，通过解一元二次方程求得A，B的坐标，则中点P的坐标可得，进而利用圆的定义求得以AB为直径的圆的方程．
（Ⅱ）设A，B两点坐标，则可表示出和，利用求得λ与A，B坐标的关系式，把点A，B代入抛物线方程，联立求得λx1=m．要使此直线l使得|AM|，|OM|，|MB|成等比数列，需要|OM|2=|MB|•|AM|，进而求得关于x1的一元二次方程，进而根据两根之积为m2＞0，判断出只可能有两个正根，建立不等式组求得m的范围．
（Ⅰ）【解析】
由题意，得M（1，0），直线l的方程为y=x-1．
由，得x2-6x+1=0，
设A，B两点坐标为A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点P的坐标为P（x，y），
则，
故点
所以，
故圆心为P（3，2），直径，
所以以AB为直径的圆的方程为（x-3）2+（y-2）2=16；
（Ⅱ）【解析】
设A，B两点坐标为A（x1，y1），B（x2，y2），．
则，
所以①
因为点A，B在抛物线C上，
所以y12=4x1，y22=4x2，②
由①②消去x2，y1，y2得λx1=m．
若此直线l使得|AM|，|OM|，|MB|成等比数列，则|OM|2=|MB|•|AM|，
即|OM|2=λ|AM|•|AM|，所以m2=λ[（x1-m）2+y12]，
因为y12=4x1，λx1=m，所以，
整理得x12-（3m-4）x1+m2=0，③
因为存在直线l使得|AM|，|OM|，|MB|成等比数列，
所以关于x1的方程③有正根，
因为方程③的两根之积为m2＞0，所以只可能有两个正根，
所以，解得m≥4．
故当m≥4时，存在直线l使得|AM|，|OM|，|MB|成等比数列．