Question

已知a＞0且a≠1，f（log_ax）=（x-）．
（1）求函数f（x）的解析式；（2）试判定函数f（x）的奇偶性与单调性，并证明．

Answer

（1）利用换元法：令t=logax⇒x=at，代入可得f（t）=，（t∈R），从而可得函数f（x）的解析式
（2）由（1）得f（x）定义域为R，
①先证奇偶性：代入f（-x）=，从而可得函数为奇函数
②再证单调性：利用定义任取x1＜x2，利用作差比较f（x1）-f（x2）的正负，从而确当f（x1）与f（x2）的大小，进而判断函数的单调性
【解析】
（1）令logax=t，则x=at，得f（t）=（at-a-r），（4分）
所以f（x）=（ax-a-x）（6分）
（2）因为f（x）定义域为R，
又f（-x）=（a-x-ax）
=-（ax-a-x）=-f（x），
所以函数f（x）为奇函数（9分）
任取x1＜x2
则f（x2）-f（x1）=（）（）（11分）
因为当a＞0且a≠1，恒有f（x2）-f（x1）＞0，
所以f（x）为增函数（13分）