Question

已知C：x²+y²+2x-4y+3=0．圆C外有一动点P，点P到圆C的切线长等于它到原点O的距离，
（1）求点P的轨迹方程．
（2）当点P到圆C的切线长最小时，切点为M，求∠MPC的值．

Answer

（1）设出点P的坐标，利用圆的方程可求得圆心和半径，根据题意可知PM|2=|PC|2-r2，求得x和y的关系式，则点P的轨迹方程可得．
（2）根据题意可知P到圆C的切线最小时，即P到原点的距离最小，此时OP所在的直线垂直于2x-4y+3=0，求得点P的坐标，进而利用点到直线的距离求得|PC|，进而在Rt△MPC中求得sin∠MPC，利用反三角函数求得∠MPC．
【解析】
（1）设点P的坐标（x，y）
由圆的方程可知圆心为（-1，2），
r2=2，且|PM|2=|PC|2-r2，
（x+1）2+（y-2）2-2=x2+y2，
整理得2x-4y+3=0
（2）到P到圆C的切线最小时，即P到原点的距离最小，此时OP所在的直线垂直于
2x-4y+3=0，故点P（-，），
此时|PC|=，sin∠MPC==
∴∠MPC=arcsin