Question

已知椭圆C：，一个顶点为A（0，2）
（1）若将椭圆C绕点P（1，2）旋转180°得到椭圆D，求椭圆D方程
（2）若椭圆C与直线y=kx+m （k≠0）相交于不同的M、N两点，且|AM|=|AN|，
求m的取值范围．

Answer

（1）椭圆C的对称中心（0，0）关于点P（1，2）的对称点为（2，4），且对称轴平行于坐标轴，长轴、短轴的长度不变．
（2）把M（x1，y1）、N（x2，y2），代入椭圆C相减，利用斜率公式及A在线段MN的中垂线上，求得y1+y2=-2，x1+x2=-6k，把y=kx+m代入椭圆C：化为关于x的一元二次方程，再利用判别式大于0，求出m的取值范围．
【解析】
（1）由题意得，椭圆C的对称中心（0，0）关于点P（1，2）的对称点为（2，4），且对称轴平行于坐标轴，
长轴、短轴的长度不变，故将椭圆C绕点P（1，2）旋转180°得到椭圆D的方程为 +=1．
（2） 设M（x1，y1）、N（x2，y2），∵|AM|=|AN|，∴A在线段MN的中垂线上．
 把M（x1，y1）、N（x2，y2），代入椭圆C：的方程得：+=1，①
+=1  ②，用①减去②得：=，
∴k==-×，再由中垂线的性质得 ==，
∴=，∴y1+y2=-2，∴x1+x2=-3k（y1+y2）=-6k，
故MN的中点（-3k，-1），
把y=kx+m代入椭圆C：得，（1+3k2）x2+6kmx+3m2-12=0，
∴x1+x2=-6k=，∴m=1+3k2，∴mx2+6kmx+3m2-12=0，
由题意知，判别式大于0，即 36k2m2-4m（3m2-12）＞0，
36××m2-12m3+48m＞0，m（m-4）＜0，∴0＜m＜4，
故 m的取值范围为 （0，4）．