Question

如图：在三棱锥P-ABC中，PB⊥面ABC，△ABC是直角三角形，∠B=90°，AB=BC=2，∠PAB=45°，点D、E、F分别为AC、AB、BC的中点．
（Ⅰ）求证：EF⊥PD；
（Ⅱ）求直线PF与平面PBD所成的角的大小；
（Ⅲ）求二面角E-PF-B的正切值．

Answer

解法一：（Ⅰ）因为EF∥AC，故只要证PD⊥AC，由三垂线定理可证；
（Ⅱ）因为面PBD⊥面ABC，故只需过电F作BD的垂线，因为EF⊥BD，交点为O，则∴∠FPO为直线PF与平面PBD所成的角，求解即可．
（Ⅲ）由EB⊥面PBC，故可有三垂线定理法作出二面角的平面角．过点B作BM⊥PF于点F，连接EM，则∠EMB为二面角E-PF-B的平面角
再在△EBM中求解即可．
解法二：（向量法）因为BA、BC、BP两两垂直，故可建立空间直角坐标系，利用空间向量求解．
（Ⅰ）只要证即可
（Ⅱ）求出平面PBD的法向量，法向量和夹角的余弦的绝对值即为直线PF与平面PBD所成的角的正弦值．
（Ⅲ）分别求出两个面的法向量，再由夹角公式求二面角的余弦值，再求正切．
【解析】
法一
（Ⅰ）连接BD、在△ABC中，∠B=90°．
∵AB=BC，点D为AC的中点，∴BD⊥AC．
又∵PB⊥面ABC，即BD为PD在平面ABC内的射影，
∴PD⊥AC．
∵E、F分别为AB、BC的中点，∴EF∥AC，
∴EF⊥PD．

（Ⅱ）∵PB⊥平面ABC，∴PB⊥EF．
连接BD交EF于点O，∵EF⊥PB，EF⊥PD，∴EF⊥平面PBD，
∴∠FPO为直线PF与平面PBD所成的角，EF⊥PO．
．∵PB⊥面ABC，∴PB⊥AB，PB⊥BC，又∵∠PAB=45°，
∴PB=AB=2．∵，∴，
∴在Rt△FPO中，，∴．
（Ⅲ）过点B作BM⊥PF于点F，连接EM，∵AB⊥PB，AB⊥BC，
∴AB⊥平面PBC，即BM为EM在平面PBC内的射影，
∴EM⊥PF，∴∠EMB为二面角E-PF-B的平面角．
∵Rt△PBF中，，∴．

法二：建立空间直角坐标系B-xyz，如图，
则B（0，0，0），A（2，0，0），C（0，2，0），D（1，1，0），
E（1，0，0），F（0，1，0），P（0，0，2）．
（Ⅰ）∵，，
∴∴EF⊥PD．
（Ⅱ）由已知可得，为平面PBD的法向量，，∴，
∴直线PF与面PBD所成角的正弦值为．
∴直线PF与面PBD所成的角为．

（Ⅲ）设平面PEF的一个法向量为a=（x，y，z），
∵，
∴a，a，令z=1，∴a=（2，2，1）
由已知可得，向量为平面PBF的一个法向量，
∴cos＜a，∴tan＜a．
∴二面角E-PF-B的正切值为．