Question

在△ABC中，三内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知内角C为钝角，且2sin²A-cos2A-2=0，
（1）求角A的大小；
（2）试比较b+c与的大小．

Answer

（1）利用二倍角公式对原式化简整理求得cos2A的值，进而根据A的范围求得A的值．
（2）根据（1）中A的值，进而可推断出B的范围，△ABC的外接圆半径为R，进而利用正弦定理把b+c-转化成角的正弦，然后利用两角和公式展开后化简整理，进而根据B的范围确定b+c-＜0，进而推断出b+c与的大小．
【解析】
（1）由2sin2A-cos2A-2=0，得cos2A=-，
又0＜A＜，则2A=，故A=
（2）由（1）及已知得B+C=，又C∈（，π），可得0＜B＜
设△ABC的外接圆半径为R，则b+c-=2R（sinB+sinC-）
=2R[sinB+sin（-B）-]
=2R（sinB+sincosB-cossinB-）
=2R（sinB+cosB-）=2R[sin（B+）-]，
∵0＜B＜，
∴，
∴＜sin（B+）＜，
∴b+c＜a