Question

已知数列{a_n}的前项和为s_n，且s_n+1=4a_n+2（n∈N⁺），a₁=1，．
（1）设b_n=a_n+1-2a_n，求b₁并证明数列{b_n}为等比数列；
（2）设c_n=，求证{c_n}是等差数列．

Answer

（1）利用数列的递推，分别表示出sn+1和sn+2，两式相减，整理可得an+2-2an+1=2an+1-4an，进而把bn代入求得推断出{bn}为首项为3，公比为2的等比数列．
（2）通过（1）利用等比数列的通项公式求得bn，然后利用bn=an+1-2an，整理出判断出数列{cn}是等差数列．
【解析】
（1）∵a1=1，s2=4a1+2，得a2=s2-a1=3a1+2=5，
∴b1=5-2=3，
由sn+1=4an+2，得sn+2=4an+1+2，
两式相减得sn+2-sn+1=4（an+1-an），
即an+2=4（an+1-an），亦即an+2-2an+1=2an+1-4an
∵bn=an+1-2an，∴bn+1=2bn
∴，对n∈N*恒成立，∴{bn}为首项为3，公比为2的等比数列
（2）由（1）得bn=3•2n-1，∵bn=an+1-2an
∴an+1-2an=3•2n-1，
∴，即，又c1=
∴{cn}为首项为，公差为的等差数列