Question

直角坐标平面内，我们把横坐标、纵坐标都是整数的点称为整点．现有一系列顶点都为整点的等腰直角三角形△OA₁B₁，△OA₂B₂，△OA₃B₃，…，△OA_nB_n，…，其中点O是坐标原点，直角顶点A_n的坐标为（n，n）（n∈N^*，n≥3），点B_n在x轴正半轴上，则第n个等腰直角三角形△OA_nB_n内（不包括边界）整点的个数为    ．

Answer

先列举后推理的办法解答，就是满足题意的整点：△OA1B1、△OA2B2、△OA3B3、△OA4B4、找出规律，求出△OAnBn内整点个数．
解 的顶点分别是（0，0）（1，1）（2，0）
所以很明显内部没有整点
△OA2B2的顶点分别是（0，0）（2，2）（4，0）
所以很明显内部整点有（2，1）就一个
△OA3B3的顶点分别是（0，0）（3，3）（6，0）
所以很明显内部整点有（2，1）（3，1）（3，2）（4，2）共4个
△OA4B4的顶点分别是（0，0）（4，4）（8，0）
所以很明显内部整点有（2，1）（3，1）（3，2）（4，1）（4，2）（4，3）（5，1）（5，2）（6，1）一共是9个
所以我们能总结出规律：整点横纵坐标之和一定小于8，并且纵坐标不能为0，也必须小于横坐标
而且很明显：△OA1B1内整点个数是0=（1-0）2
△OA2B2内整点个数是1=（2-1）2
△OA3B3内整点个数是4=（3-1）2
△OA4B4内整点个数是9=（4-1）2
所以△OAnBn内整点个数是（n-1）2
故答案为：（n-1）2