Question

设数列n²a_n的前n项和为S_n，且S_n=n（n+1）（n+2），n∈N^*．
（1）求数列a_n的通项公式；
（2）若数列b_n满足b_n=a₁a₂a₃…a_n，n∈N^*，求数列b_n的通项公式及前n项和T_n；
（3）在（2）的条件下，求证：．

Answer

（1）利用递推公式可先求n2an=sn-sn-1（n≥2），a1=s1，进一步可求an
（2）结合（1）可知，代入可求bn，利用“乘公比错位相减”求Tn
（3）结合（1）（2）可得，=，利用裂项求和
【解析】
（1）当n=1时，a1=6；
当n≥2时，Sn=n（n+1）（n+2）①
Sn-1=（n-1）n（n+1）②
由①-②得：n2an=3n（n+1），即．
综上得：．（4分）
（2）因为，
所以．
故bn=3n（n+1）．（6分）
Tn=2•3+3•32+4•33+…+n•3n-1+（n+1）•3n．③
3Tn=2•32+3•33+4•34+…+n•3n+（n+1）•3n+1．④
③-④得：-2Tn=2•3+32+33+…+3n-（n+1）•3n+1=
化简得：．（9分）
（3）由bn=3n（n+1），得，等式两端同时乘以，
得．则有

（12分）