Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，侧面PAD是正三角形，且侧面PAD⊥底面ABCD，E为侧棱PD的中点．
（1）求证：PB∥平面EAC；
（2）若AD=AB，试求二面角A-PC-D的正切值．

Answer

（1）以AD的中点为坐标原点，OA为x轴，OP为z轴，设PA=AD=PD=a，AB=b，连接BD交AC于点F，求出，，证明它们共线即可；
（2）设PA=AD=PD=AB=a，分别求出平面PAC的一个法向量与平面PCD的一个法向量，先求出两个法向量的夹角，从而求出二面角的正切值．
【解析】
（1）证明：如图建立空间直角坐标系O-xyz，其中O为AD的中点．设PA=AD=PD=a，AB=b，
则P（0，0，a），D（-，0，0），E（-，0，a），B（，b，0），
连接BD交AC于点F，则F（0，，0）．

=（，，-a），=（，b，-a）=2，
∴∥，又EF⊂平面AEC，且PB⊄平面AEC，
∴PB∥平面EAC．
（2）设PA=AD=PD=AB=a，
则P（0，0，a），A（，0，0），C（-，a，0），D（-，0，0）．
=（-a，a，0），=（-，a，-a），=（-，0，-a），
设n1=（x1，y1，z1）是平面PAC的法向量，
则即
令z1=1，解得x1=y1=，∴n1=（，，1），
设n2=（x2，y2，z2）是平面PCD的法向量，
则即
令z2=1，解得x2=-，y2=0，∴n2=（-，0，1），
cos＜n1，n2＞==-，
设所求二面角的平面角为α，
则cosα=，sinα=，tanα=．