Question

组委会计划对参加某项田径比赛的12名运动员的血样进行突击检验，检查是否含有兴奋剂HGH成分．采用如下检测方法：将所有待检运动员分成4个小组，每组3个人，再把每个人的血样分成两份，化验室将每个小组内的3个人的血样各一份混合在一起进行化验，若结果中不含HGH成分，那么该组的3个人只需化验这一次就算合格；如果结果中含HGH成分，那么需对该组进行再次检验，即需要把这3个人的另一份血样逐个进行化验，才能最终确定是否检验合格，这时，对这3个人一共进行了4次化验，假定对所有人来说，化验结果中含有HGH成分的概率均为．
（Ⅰ）求一个小组只需经过一次检验就合格的概率；
（Ⅱ）设一个小组检验次数为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望；
（Ⅲ）至少有两个小组只需经过一次检验就合格的概率．（精确到0.01，参考数据：0.271³≈0.020，0.271⁴≈0.005，0.729²≈0.500）

Answer

（1）一个小组只需经过一次检验就合格，则必有此三个人的血样中均不含HGH成分，根据相互独立事件同时发生的概率公式得到要求的概率．
（2）一个小组检验次数为随机变量ξ，若一次检验不合格，则要挨个检验三个人的血液，最终结果要么查一次，要么查三次，得到变量的可能取值，当变量是4时，用三人都不含HGH成分的对立事件，写出分布列和期望．
（3）四个小组中至少有两个小组只需经过一次检验就合格的对立事件是有一个或0个检验不合格，根据对立事件和独立重复试验的概率公式得到概率．
【解析】
（Ⅰ）∵化验结果中含有HGH成分的概率均为．
一个小组只需经过一次检验就合格，则必有此三个人的血样中均不含HGH成分
根据相互独立事件同时发生的概率公式得到
∴所求概率为．

（Ⅱ）一个小组检验次数为随机变量ξ，若一次检验不合格，则要挨个检验三个人的血液，
最终结果要么查一次，要么查三次，得到变量的可能取值
∴随机变量ξ的取值可为1，4，
当变量是1时，上面已经做出结果，
当变量是4时，用三人都不含HGH成分的对立事件．
∴
∴ξ的分布列为

∴

（Ⅲ）四个小组中至少有两个小组只需经过一次检验就合格的对立事件是有一个或0个检验不合格，
根据对立事件的概率公式得到概率为
P=1-C4（0.729）（0.271）4-C41（0.729）1（0.271）3≈0.94