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如图,已知AB⊥平面ACD,DE∥AB,AD=AC=DE=2AB=2,且F是CD...

如图,已知AB⊥平面ACD,DE∥AB,AD=AC=DE=2AB=2,且F是CD的中点.manfen5.com 满分网
(1)求证:AF∥平面BCE;
(2)求证:平面BCE⊥平面CDE;
(3)求直线CE与面ADEB所成的角的正切值.

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(1)取CE中点P,连接FP,BP根据中位线的性质可知FP∥DE,且FP=.同时AB∥DE,且AB=.进而推断出AB∥FP,且AB=FP,判断出 ABPF为平行四边形进而可知AF∥BP,最后根据线面平行的判定定理可推断出AF∥平面BCE. (2)利用AF,CD判断出△ACD为正三角形,推断出AF⊥CD,进而利用AB⊥平面ACD,DE∥AB推断出DE⊥AF,根据AF⊥CD,CD∩DE=D推断出AF⊥平面CDE,根据平面与平面垂直的判定定理可知平面BCE⊥平面CDE. (3)过C作CG⊥AD于G,连接EG,则G为AD中点根据线面垂直的性质可推断出AB⊥CG,同时CG⊥AD,CG∩AD=G进而推断出CG⊥面ADEB 判断∠CEG为直线CE与面ADEB所成的角. 然后分别利用勾股定理求得EG和CG,进而求得tan∠CEG答案可得. 【解析】 (1)取CE中点P,连接FP,BP, ∵F为CD的中点, ∴FP∥DE,且FP=. 又AB∥DE,且AB=. ∴AB∥FP,且AB=FP, ∴ABPF为平行四边形,∴AF∥BP. 又∵AF⊄平面BCE,BP⊂平面BCE, ∴AF∥平面BCE (2)∵AF= ∴CD=2,所以△ACD为正三角形,∴AF⊥CD ∵AB⊥平面ACD,DE∥AB ∴DE⊥平面ACD又AF⊂平面ACD ∴DE⊥AF 又AF⊥CD,CD∩DE=D ∴AF⊥平面CDE 又BP∥AF∴BP⊥平面CDE 又∵BP⊂平面BCE ∴平面BCE⊥平面CDE (3)过C作CG⊥AD于G,连接EG,则G为AD中点. ∵AB⊥平面ACD,CG⊂面ACD ∴AB⊥CG ∵CG⊥AD,CG∩AD=G ∴CG⊥面ADEB ∴CG⊥EG,∠CEG为直线CE与面ADEB所成的角. 在Rt△EDG中,, 在Rt△CDG中,, 在Rt△CEG中,.即直线CE与面ADEB所成的角的正切值为.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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