Question

如图，已知A（1，0），B（0，2），C₁为AB的中点，O为坐标原点，过C₁作C₁D₁⊥OA于D₁点，连接BD₁交OC₁于C₂点，过C₂作C₂D₂⊥OA于D₂点，连接BD₂交OC₁于C₃点，过C₃作C₃D₃⊥OA于D₃点，如此继续，依次得到D₁，D₂，D₃…D_n（n∈N^*），记D_n的坐标为（a_n，0）．
（1）求a₁，a₂的值；
（2）求a_n与a_n+1的关系式，并求出a_n的表达式；
（3）设△OC_nD_n的面积为b_n，数列{b_n}的前n项和为S_n，证明：．

Answer

（1）由题意知直线BD1的方程：，直线OC1的方程：y=2x，由此可解得C2的横坐标为．
（2）设Dn（an，0），由题意知直线BDn的方程为，联立OC1：y=2x，可解得，由引可知．
（3）由题意知，由此可知Sn=b1+b2+b3+bn=＜=．
解（1）∵C1为AB中点，∴C1（，1），D1（，0），，
直线BD1的方程：，直线OC1的方程：y=2x，
可解得C2的横坐标为（2分）

（2）设Dn（an，0），直线BDn的方程为，联立OC1：y=2x，
可解得，∴（5分）
∴数列是首项为2公差为1的等差数列，∴，∴（8分）

（3）∵△OCnDn～△OC1D1
∴，
∴（11分）
Sn=b1+b2+b3+bn=+
=
=（14分）