Question

已知函数f（x）=ax²+bx+1（a，b为实数）．
（Ⅰ）若f（-1）=0，x∈R，且函数f（x）的值域为[0，+∞），求f（x）的表达式；
（Ⅱ）设a=1，记f（x）在（-∞，0]的最小值为g（b），求g（b）．

Answer

（I）由f（-1）=0，确定a，b的一个关系，再由函数f（x）的值域为[0，+∞），在轴处取得0，再得到a，b的一个关系，列方程组求得a，b．
（II）将a=1代入，并将函数转化找到其对称轴，再按照二次函数最值的研究方法讨论．
【解析】
（I）依题有．
∴f（x）=x2+2x+1（6分）
（II）（8分）
当即b≥0时，；
当即b＜0时，fmin（x）=f（0）=1
综上述f（x）在（-∞，0]上的最小值为（12分）