Question

已知函数f（x）=x³+ax²+bx（a，b∈R）的图象过点P（1，f（1）），且在点P处的切线的方程为y=8x-6．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）求函数f（sinx）的最值．

Answer

（I）根据切点既在切线上又在函数f（x）的图象上，建立一等式关系，再根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=1处的导数，建立另一关系式，解方程组即可求出a和b的值；
（II）先求导数fˊ（x），在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，即可求出函数的单调区间；
（III）设sinx=t，则问题可以转化为求函数f（t）（-1≤t≤1）的最值，再根据复合函数的单调性即可求出函数f（sinx）的最值．
（Ⅰ）【解析】
∵点P在切线上，
∴f（1）=2．
∴a+b=1．①（2分）
又函数图象在点P处的切线斜率为8，
∴f'（1）=8，
又f'（x）=3x2+2ax+b，
∴2a+b=5．②（4分）
解由①②组成的方程组，可得a=4，b=-3．（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f'（x）=3x2+8x-3，
令f'（x）＞0，可得；
令f'（x）＜0，可得．（7分）
∴函数f（x）的单调增区间为，单调减区间为．（9分）
（Ⅲ）设sinx=t，则问题可以转化为求函数f（t）（-1≤t≤1）的最值，
由（Ⅱ）可知f（t）在上是减函数，在上是增函数．
∴f（t）的最小值为．（11分）
又f（-1）=6，f（1）=2，
∴f（t）的最大值为f（-1）=6．
∴函数f（sinx）的最小值为，最大值为6．（13分）