Question

有甲、乙、丙、丁四名网球运动员，通过对过去战绩的统计，在一场比赛中，甲对乙、丙、丁取胜的概率分别为0.6，0.8，0.9．
（Ⅰ）若甲和乙之间进行三场比赛，求甲恰好胜两场的概率；
（Ⅱ）若四名运动员每两人之间进行一场比赛，求甲恰好胜两场的概率；
（Ⅲ）若四名运动员每两人之间进行一场比赛，设甲获胜场次为ξ，求随机变量ξ的分布列及期望Eξ．

Answer

（Ⅰ）本题符合独立重复试验，试验发生3次，每一次试验甲对乙取胜的概率是0.6，根据独立重复试验的概率公式，得到甲和乙之间进行三场比赛，甲恰好胜两场的概率．
（Ⅱ）甲与每一位进行一场比赛，甲进行三场比赛，甲恰好胜两场包括三种结果，这三种结果是互斥的，而在每一种情况中发生的事件是相互独立的，根据概率公式得到结果．
（III）四名运动员每两人之间进行一场比赛，设甲获胜场次为ξ，由题意知随机变量ξ的可能取值为0，1，2，3．
根据变量对应的事件写出概率，写出分布列和期望．
【解析】
（Ⅰ）由题意知，本题符合独立重复试验，试验发生3次，每一次试验甲对乙取胜的概率是0.6，
∴甲和乙之间进行三场比赛，甲恰好胜两场的概率为P1=C32×0.62×0.4=0.432．
（Ⅱ）记“甲胜乙”，“甲胜丙”，“甲胜丁”三个事件分别为A，B，C，
则P（A）=0.6，P（B）=0.8，P（C）=0.9．
则四名运动员每两人之间进行一场比赛，
甲恰好胜两场包括三种结果，这三种结果是互斥的，而在每一种情况中发生的事件是相互独立的，
∴=
P（A）⋅P（B）⋅[1-P（C）]+P（A）⋅[1-P（B）]⋅P（C）+[1-P（A）]⋅P（B）⋅P（C）
=0.6×0.8×0.1+0.6×0.2×0.9+0.4×0.8×0.9
=0.444
（Ⅲ）随机变量ξ的可能取值为0，1，2，3．
P（ξ=0）=0.4×0.2×0.1=0.008；
P（ξ=1）=0.6×0.2×0.1+0.4×0.8×0.1+0.4×0.2×0.9=0.116；
由（Ⅱ）得P（ξ=2）=0.444；P（ξ=3）=0.6×0.8×0.9=0.432．
∴随机变量ξ的分布列为

Eξ=0×0.008+1×0.116+2×0.444+3×0.432=2.3．