Question

在数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=λa_n+λⁿ⁺¹+（2-λ）2ⁿ（n∈N⁺）．（Ⅰ）求a₂，a₃，a₄，并猜想数列{a_n}的通项公式（不必证明）；（Ⅱ）证明：当λ≠0时，数列{a_n}不是等比数列；（Ⅲ）当λ=1时，试比较a_n与n²+1的大小，证明你的结论．

Answer

（Ⅰ）利用数列的递推式分别求得a2，a3，a4，猜想出an．
（Ⅱ）假设数列{an}是等比数列，则a1，a2，a3也成等比数列，利用等比数列的等比中项的性质求得（λ-2）2+4=0，与（λ-2）2+4＞0矛盾，推断出假设不成立，故可知数列{an}不是等比数列．
（Ⅲ）把λ=1代入数列递推式，求得an，猜想出2n＞n2-n+2，然后利用数学归纳法，分别看n≥4和n=k+1时结论成立．
【解析】
（Ⅰ）∵a1=2，
∴a2=λa1+λ2+2（2-λ）=λ2+4，
同理可得，a3=2λ3+8，
a4=3λ4+16，
猜想an=（n-1）λn+2n．
（Ⅱ）假设数列{an}是等比数列，
则a1，a2，a3也成等比数列，
∴a22=a1•a3⇒（λ2+4）2=2（2λ3+8）⇒λ4-4λ3+8λ2=0，
∵λ≠0，∴λ2-4λ+8=0，即（λ-2）2+4=0，
但（λ-2）2+4＞0，矛盾，∴数列{an}不是等比数列．
（Ⅲ）∵λ=1，∴an=（n+1）+2n，
∴an-（n2+1）=2n-（n2-n+2），
∵当n=1，2，3时，2n=n2-n+2，
∴an=n2+1．
当n≥4时，猜想2n＞n2-n+2，
证明如下：当n=4时，显然2k＞k2-4+2
假设当n=k≥4时，猜想成立，即2k＞k2-k+2，
则当n=k+1时，2k+1=2•2k＞2（k2-k+2），
∵2（k2-k+2）-[（k+1）20-（k+1）+2]
=（k-1）（k-2）＞0
∴2k+1＞2（k2-k+2）＞（k+1）2-（k+1）+2，
∴当n≥4时，猜想2n＞n2-n+2成立，
∴当n≥4时，an＞n2+1．