Question

定义在定义域D内的函数y=f（x），若对任意的x₁、x₂∈D都有|f（x₁）-f（x₂）|＜1，则称函数y=f（x）为“妈祖函数”，否则称“非妈祖函数”．试问函数f（x）=x³-x+α（x∈[-1，1]，α∈R）是否为“妈祖函数”？如果是，请给出证明；如果不是，请说明理由．

Answer

【解析】
根据|f（x1）-f（x2）|＜|f（x）max-f（x）min|，我们只要求得函数的最大值和最小值，看差的绝对值是否小于1即可，因为函数f（x）=x3-x+a（x∈[-1，1]，a∈R]是高次函数，所以用导数法来求其最大值和最小值即可．
【解析】
因为|f（x1）-f（x2）|＜|fmax-fmin|，
函数f（x）=x3-x+a（x∈[-1，1]，a∈R]导数是f′（x）=3x2-1
当3x2-1=0时，即x=±，当0＜x＜时，f′（x）=3x2-1＜0，当x＞时，
f′（x）=3x2-1＞0，故f（x）在x∈[0，1]内的极小值是a-，同理，
f（x）在[-1，0]内的极大值是a+，因为f（1）=f（-1）=a，
所以函数f（x）=x3-x+a（x∈[-1，1]，a∈R]的最大值是a+，最小值是a-，
故|f（x1）-f（x2）|＜|fmax-fmin|=＜1
所以函数f（x）=x3-x+a（x∈[-1，1]，a∈R]是“妈祖函数”．（2分）