Question

已知数列{a_n}满足S_n+a_n=2n+1．
（1）写出a₁，a₂，a₃，并推测a_n的表达式；
（2）用数学归纳法证明所得的结论．

Answer

（1）取n=1，2，3，分别求出a1，a2，a3，然后仔细观察，总结规律，猜测an的值．
（2）用数学归纳法进行证明，①当n=1时，命题成立；②假设n=k时，命题成立，即ak=2-，当n=k+1时，a1+a2+…+ak+ak+1+ak+1=2（k+1）+1，ak+1=2-，当n=k+1时，命题成立．故an=2-都成立．
【解析】
（1）a1=，a2=，a3=，
猜测an=2-
（2）①由（1）已得当n=1时，命题成立；
②假设n=k时，命题成立，即ak=2-，
当n=k+1时，a1+a2+…+ak+2ak+1=2（k+1）+1，
且a1+a2+…+ak=2k+1-ak
∴2k+1-ak+2ak+1=2（k+1）+1=2k+3，
∴2ak+1=2+2-，即ak+1=2-，
即当n=k+1时，命题成立．
根据①②得n∈N+，an=2-都成立．