Question

根据函数单调性的定义，判断（a≠0）在[1，+∞）上的单调性并给出证明．

Answer

首先，根据函数单调性的判断方法，在定义域内取x1，x2，且1≤x1＜x2，然后判断f（x1）-f（x2）的正负，若f（x1）-f（x2）＞0，则函数是减函数；若f（x1）-f（x2）＜0，则函数在定义域上是增函数．
【解析】
在[1，+∞）上任取x1，x2，且1≤x1＜x2，（2分）
则（6分）
∵1≤x1＜x2，
∴x1-x2＜0，且1-x1x2＜0．（8分）
（1）当a＞0时，f（x1）-f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），
∴是[1，+∞）上的减函数；（10分）
（2）当a＜0时，f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
∴是[1，+∞）上的增函数；（12分）