Question

已知函数，
（1）判断函数f（x）的奇偶性，并给予证明；
（2）求证：方程f（x）-lnx=0至少有一根在区间（1，3）．

Answer

（1）先求出函数的定义域，然后利用函数奇偶性的定义进行判定即可；
（2）先建立函数令，计算g（1）与g（3）的值，利用根的存在性定理进行判定即可．
证明：（1）函数f（x）的定义域为R，且，则
所以f（-x）=-f（x），所以f（x）是奇函数．（6分）
（2）令，则函数y=g（x）在（1，3）连续．
因为，，
所以，方程f（x）-lnx=0至少有一根在区间（1，3）上．（12分）