Question

已知函数f（x）=x³-ax²+bx．
（1）若函数f（x）在点（2，f（2））的切线方程为5x-y-8=0，求函数f（x）的单调递增区间；
（2）若b=-3，f（x）在x∈[1，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围．

Answer

（1）根据已知得f（2）=8-4a+2b=2，f′（2）=12-4a+b=5，解出a，b的值，接下来，利用导数求解函数单调区间的方法步骤求解；
（2）f（x）在[1，+∞）上是增函数，则f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，解出a的不等式a≤，只需求的最小值即可．
【解析】
（1）根据已知易得f（2）=8-4a+2b=2，f′（2）=12-4a+b=5，
得出a=2，b=1，即f（x）=x（x-1）2，当f′（x）=（x-1）（3x-1）＞0，即x＞1或x＜时，f（x）为增函数，
所以f（x）的单调递增区间为（-∞，）∪（1，+∞）
（2）b=-3，f（x）=x3-ax2-3x，
∵f（x）在x∈[1，+∞）上是增函数
∴f′（x）=3x2-2ax-3≥0，
∴≤，
令g（x）=，x∈[1，+∞）
g′（x）=＞0，即g（x）在[1，+∞）单调递增，
∴g（x）≥g（1）=0，
∴a的取值范围为a≤0．