Question

动点P为椭圆上异于椭圆顶点（±a，0）的一点，F₁、F₂为椭圆的两个焦点，动圆C与线段F₁P、F₁F₂的延长线及线段PF₂相切，则圆心C的轨迹为除去坐标轴上的点的（ ）
A．一条直线
B．双曲线的右支
C．抛物线
D．椭圆

Answer

画出圆M，切点分别为E、D、G，由切线长相等定理知F1G=F1E，PD=PE，F2D=F2G，根据椭圆的定义知PF1+PF2=2a，PF1+PF2=F1E+DF2（PD=PE）=F1G+F2D（F1G=F1E）=F1G+F2G=2a，由此入手知M点的轨迹是垂直于x轴的一条直线（除去A点）．
【解析】
如图画出圆M，切点分别为E、D、G，
由切线长相等定理知
F1G=F1E，PD=PE，F2D=F2G，
根据椭圆的定义知PF1+PF2=2a，
∴PF1+PF2=F1E+DF2（PD=PE）
=F1G+F2D（F1G=F1E）
=F1G+F2G=2a，
∴2F2G=2a-2c，F2G=a-c，
即点G与点A重合，
∴点M在x轴上的射影是长轴端点A，
M点的轨迹是垂直于x轴的一条直线（除去A点）；
故选A．