Question

已知函数f（x）=log_a（ax²-x+3）在[2，4]上是增函数，则实数a的取值范围是     ．

Answer

将原函数f（x）=loga（ax2-x+3）看成是函数：y=logaμ，μ=ax2-x+3的复合函数，利用对数函数与二次函数的单调性来研究即可．注意对数的真数必须大于0．
【解析】
设μ=ax2-x+3．
则原函数f（x）=loga（ax2-x+3）是函数：y=logaμ，μ=ax2-x+3的复合函数，
①当a＞1时，因μ=logax在（0，+∞）上是增函数，
根据复合函数的单调性，得
函数μ=ax2-x+3在[2，4]上是增函数，
∴
∴a＞1．
②当0＜a＜1时，因μ=logax在（0，+∞）上是减函数，
根据复合函数的单调性，得
函数μ=ax2-x+3在[2，4]上是减函数，
∴
∴＜a．
综上所述：a∈
故答案为：．