Question

我们把y=x^m（m∈Q）叫做幂函数．幂函数y=x^m（m∈Q）的一个性质是：当m＞0时，在（0，+∞）上是增函数；当m＜0时，在（0，+∞）上是减函数．设幂函数f（x）=xⁿ（n≥2，n∈N）．
（1）若g_n（x）=f（x）+f（a-x），x∈（0，a），证明：
（2）若g_n（x）=f（x）-f（x-a），对任意n≥a＞0，证明：g_n′（n）≥n!a．

Answer

（1）由已知求gn（x）的值域，首先求gn′（x），在利用gn′（x）＞0，gn′（x）＜0分别求出函数的单调递增区间和单调递减区间，得到函数的极值点x=，进而得到函数的最值，即可以得到函数的值域．
（2）当x≥a＞0时，gn′（x）=n[xn-1-（x-a）n-1]＞0，gn（x）是关于x的增函数，当n≥a时，得（n+1）n-（n+1-a）n＞nn-（n-a）n．
进而得＞n+1，（*），根据（*）式可以构造等式gn′（n）=•…•g2′（2）＞n×（n-1）×…×3×2a=n!a，又g2′（2）=2[22-1-（2-a）2-1]=2!a，故n≥2，n∈N时，有gn′（n）≥n!a
证明（1）∵gn（x）=f（x）+f（a-x）=xn+（a-x）n，
∴gn′（x）=nxn-1+n（a-x）n-1（-1）=n[xn-1-（a-x）n-1]
令gn′（x）=0，得xn-1=（a-x）n-1，又x∈（0，a）．
根据幂函数的单调性，得x=a-x，即，由下表：

∴
又gn（x）在x=0，x=a处连续，且gn（0）=gn（a）=an，
故．
（2）∵gn（x）=f（x）-f（x-a）=xn-（x-a）n，
∴gn′（x）=n[xn-1-（x-a）n-1]，
∵当x≥a＞0时，gn′（x）＞0，∴x≥a＞0时，gn（x）是关于x的增函数，
∴当n≥a时，（n+1）n-（n+1-a）n＞nn-（n-a）n．
∴gn+1′（n+1）=（n+1）[（n+1）n-（n+1-a）n]＞（n+1）[nn-（n-a）n]＞（n+1）[nn-n（n-a）n-1]
=（n+1）n[nn-1-（n-a）n-1]=（n+1）gn′（n）
于是＞n+1，而g2′（2）=2[22-1-（2-a）2-1]=2a
当n≥3时，gn′（n）=•…•g2′（2）＞n×（n-1）×…×3×2a=n!a，
又n=2时，g2′（2）=2[22-1-（2-a）2-1]=2!a
故n≥2，n∈N时，有gn′（n）≥n!a