Question

已知函数，且函数f（x）为奇函数．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若，求x的取值范围；
（Ⅲ）证明f（x）在（-∞，+∞）上为增函数．

Answer

（Ⅰ）由函数为奇函数得到f（-x）=-f（x），建立关于x的恒等式，利用系数为0即可得a的范围．
（Ⅱ）代入f（x）的解析式，然后化为整式不等式得到2x＜3，从而解得x的范围．
（Ⅲ）先设自变量值任取x1、x2∈（-∞，+∞）且x1＜x2，然后通过作差比较f（x1）与f（x2）的大小，即得函数的单调性．
【解析】
（Ⅰ）∵f（-x）=-f（x），即=0，
（Ⅱ）∵+1，
∴2x＜3，∴x＜log23
（Ⅲ）任取x1、x2∈（-∞，+∞）且x1＜x2
f（x1）-f（x2）=-=
∵y'=2x在R上为增函数，x1＜x2∴2X1＜2X2又∵2X1+1＞0，2X2+1＞0
∴f（x1）-f（x2）＜0即∴f（x）在R上为增函数．