Question

已知函数f（x）定义在（-1，1）上，对于任意的x，y∈（-1，1），有，且当x＜0时，f（x）＞0．
（Ⅰ）验证函数是否满足这些条件；
（Ⅱ）判断这样的函数是否具有奇偶性和其单调性，并加以证明．

Answer

（I）先求定义域看其是否满足条件，然后验证函数是否满足，最后求出当x＜0时的值域，看是否满足即可；
（II）要判定函数f（x）在（-1，1）上的奇偶性，只需判定f（-x）与f（x）的关系，先令x=y=0求出f（0），然后令y=-x即可判定，最后根据函数单调性的定义进行判定单调性．
【解析】
（Ⅰ）由可得-1＜x＜1，即其定义域为（-1，1）
又==
又当x＜0时，1-x＞1+x＞0，∴∴
故满足这些条件．（3分）
（Ⅱ）∵f（0）+f（0）=f（0）⇒f（0）=0
∴f（-x）+f（x）=f（0）=0⇒f（-x）=-f（x）
∴f（x）在（-1，1）上是奇函数．
∵
当-1＜x＜y＜1时，，由条件知，
即f（x）-f（y）＞0∴f（x）在（-1，1）上是减函数．