Question

已知函数f（x）=（ax²+bx+c）•e^x，其中e为自然对数的底数，a，b，c为常数，若函数f（x）在x=-2处取得极值，且f′（0）=4，
（1）求实数b，c的值；
（2）若函数f（x）在区间[1，2]上是增函数，求实数a的取值范围．

Answer

（1）对函数f（x）进行求导令f'（-2）=0、f′（0）=4求出b、c的值．
（2）令导函数f′（x）=ax2+2（a+1）x+4≥0在x∈[1，2]时恒成立即可求出a的范围．
【解析】
（1）f′（x）=（2ax+b）ex+（ax2+bx+c）ex=[ax2+（b+2a）x+b+c]ex
由f′（-2）=0⇒4a-2（b+2a）+b+c=0⇒b=c，
由，
所以b=2，c=2；
（2）由题意知道ax2+2（a+1）x+4≥0在x∈[1，2]时恒成立，
即时恒成立，
设，
则，
所以a≥-1．