Question

数列{a_n}的各项均为正数，S_n为其前n项和，对于任意n∈N*，总有2S_n=a_n²+a_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设正数数列{c_n}满足a_n+1=（c_n）ⁿ⁺¹，（n∈N^*），求数列{c_n}中的最大项；

Answer

（1）由已知可得2Sn-1=an-1+an-12（n≥2从而导出an+an-1=（an+an-1）（an-an-1）∵an，an-1均为正数，所以an-an-1=1（n≥2），由此推出an=n．
（2）由题设条件易得c1＜c2，c2＞c3＞c4＞猜想n≥2时，{cn}是递减数列．令，能够推出在[3，+∞）内f（x）为单调递减函数．由．由此能够推出数列{cn}中的最大项为．
【解析】
（1）由已知：对于n∈N*，总有2Sn=an+an2①成立
∴2Sn-1=an-1+an-12（n≥2）②
①②得2an=an+an2-an-1-an-12
∴an+an-1=（an+an-1）（an-an-1）∵an，an-1均为正数，
∴an-an-1=1（n≥2）
∴数列{an}是公差为1的等差数列又n=1时，2S1=a1+a12，解得a1=1．
∴an=n．
（2）【解析】
由已知，，

易得c1＜c2，c2＞c3＞c4＞猜想n≥2时，{cn}是递减数列．
令
∵当x≥3时，lnx＞1，则1-lnx＜0，即f'（x）＜0．
∴在[3，+∞）内f（x）为单调递减函数．
由．
∴n≥2时，{lncn}是递减数列．即{cn}是递减数列．
又c1＜c2，∴数列{cn}中的最大项为．