Question

已知函数f（x）=e^x-1（e是自然对数的底数）．
（1）证明：对任意的实数x，不等式f（x）≥x恒成立；
（2）数列{}（n∈N⁺）的前n项和为T_n，求证：T_n＜．

Answer

（1）对函数h（x）=f（x）-x进行求导，通过判断函数h（x）的增减性求出其最小值大于等于0即可．
（2）由（1）可得不等式ex-1≥x成立，转化可得，表示出Tn将代入即可得到答案．
【解析】
（I）设h（x）=f（x）-x=ex-1-x
∴h'（x）=ex-1-1，
当x＞1时，h'（x）＞0，h（x）为增，
当x＜1时，h'（x）＜0，h（x）为减，
当x=1时，h（x）取最小值h（1）=0．
∴h（x）≥h（1）=0，即f（x）≥x
（II）由（I）可知，对任意的实数x，不等式ex-1≥x恒成立，
所以，ln≥lnn2，即n2-1≥lnn2，
，
=

＜
===